2. 확률과 확률분포_ 표본분포_카이제곱분포 정의

표본분포

모집단으로부터 무작위 반복 추출한 표본 통계량에 대한 분포로, 크게 2가지의 과제로 나뉨

1. 정규모집단의 평균과 분산 측정이 중요한 분포(카이제곱, T, F)
2. n이 클 때의 표본분포의 성질에 대한 정리(대수의 법칙, 중심극한정리)

2.1  정규모집단의 평균과 분산 측정이 중요한 분포

표본을 통해 모집단 통계량(평균, 분산) 추론이 중요한 분포

2.1.1  카이제곱분포 (chi-squared distribution)

[ 정의 ]

• n개의 서로 독립적인 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포
• 주요 용도 : 표본분산을 통한 모분산 추측(모분산에 대한 가설검정이나 신뢰구간 도출)
• 그룹들의 비율을 비교하며, 독립변수 종속변수가 모두 범주형 자료(Categorical data)인 분석에 유용
  • 예시) 여성과 남성의 매운음식 선호도 비율 비교
    • 독립변수 : 성별(여성, 남성)
    • 종속변수 : 매운음식 선호도(호, 불호)

[ 카이제곱χ2 값과 확률변수 ]

카이제곱χ2 값

χ2 = Σ (관측값 - 기댓값)^2 / 기댓값

 

확률변수

Z1​ ,Z2​ ,⋯,Zn 가 서로 독립인 n개의 확률변수이면서 표준정규분포 N(0,1)을 따른다면

확률변수 Zi = Xi-m/σ 를 제곱한 값의 합

이 때 평균과 분산은 각 자유도(n) 및 자유도(n)의 2배와 같음 -> E[W] = n, V[W] = 2n​

https://namu.wiki/w/%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EB%B6%84%ED%8F%AC

[ 공식 ]

(n−1)s^2 / σ^2

즉, 표본분산에 상수 (n−1)/σ^2를 곱한 확률변수는 자유도 n-1인 카이제곱 분포를 따름

 

 

참고
https://namu.wiki/w/%EC%B9%B4%EC%9D%B4%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EB%B6%84%ED%8F%AC
https://statools.tistory.com/253