2. 확률과 확률분포_조건부확률

개요

어떤 사건이 일어나는 경우 다른 사건이 일어날 확률

P(A ∣ B) = 사건 B가 일어나는 경우에 사건 A가 일어날 확률

예시

한 집단에 10대부터 50대까지의 연령이 존재하고, 안경을 쓴 사람과 그렇지 않은 사람이 있다.

이 중 40대(A)는 30%, 안경을 쓴 사람(B)은 20%, 40대이면서 안경을 쓴 사람(AB)은 6%이다.

해당 집단에서 안경을 쓴 어떤 한 사람을 뽑았을 때 그 사람이 40대일 확률은

P(AB) / P(B) = 0.06 / 0.2 = 0.3

 

독립성

사건 A와 B가 독립이라는 것은, P(A ∣ B) = P(A) (= P(B ∣ A) = P(B))

통계의 함정

• A : 운전자가 안전띠를 매는 사건
• B : 운전자가 자동차 사고로 사망하는 사건
• 자동차 사고로 사망한 사람의 40%는 안전띠를 매지 않았음

그럼 사망한 사람의 60%는 안전띠를 매고도 죽었다는 것이므로 안전띠가 위험하다는 뜻?

 

이는 두 조건부확률 P(A | B)와 P(B | A)가 서로 다르다는 것을 전제로 하지 않아 발생

• P(A) = 운전자 중 안전띠를 맨 사람의 비율 : 0.95
• P(B) = 운전자 중 자동차 사고 사망 비율 : 0.0001
• P(A ∣ B) = 자동차 사고로 사망했을 때 안전띠를 매는 사건 : 0.6
• P(Ac ∣ B) = 자동차 사고로 사망했을 때 안전띠를 매지 않는 사건 : 0.4
• P(B ∣ A) = 안전띠를 맸을 때 자동차 사고로 사망할 확률 = P(AB) / P(A)
  • P(AB)= P(A ∣ B) * P(B) =0.6*0.0001 = 0.0006
  • P(AB) / P(A) = 0.0006/0.95 = 0.000063
• P(B | Ac) = 안전띠를 매지 않았을 때 자동차 사고로 사망할 확률 = P(AcB) / P(Ac)
  • P(AcB) = P(Ac ∣ B) * P(B) = 0.4*0.0001 = 0.0004
  • P(AcB) / P(Ac) = 0.0004/0.05 = 0.0008

→ 안전띠를 맸을 때 자동차 사고로 사망할 확률이 그렇지 않을 때보다 훨씬 낮음 즉, 안전띠를 매야 안전하다라는 결론이 남